一、 椭圆的定义

平面内与两个定点 $F_1,F_2$$F_1, F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1{F}_2|$$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。

• 这两个定点叫做椭圆的焦点。
• 两焦点间的距离 $|F_1{F}_2|=2c$$|F_1F_2| = 2c$ 叫做椭圆的焦距。
• 定义式：$|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$$|PF_1| + |PF_2| = 2a$ （其中 $2a>2c$$2a > 2c$）。

二、 椭圆的标准方程

焦点位置	焦点在 x 轴上	焦点在 y 轴上
标准方程	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$	$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$
图形
焦点坐标	$F_1(-c,0),F_2(c,0)$$F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$	$F_1(0,-c),F_2(0,c)$$F_1(0, -c), F_2(0, c)$
$a,b,c$$a, b, c$ 的关系	$a^2=b^2+c^2$$a^2 = b^2 + c^2$	$a^2=b^2+c^2$$a^2 = b^2 + c^2$

三、 椭圆的焦点三角形

椭圆上的点 $P(x_0,y_0)$$P(x_0, y_0)$ 与两焦点 $F_1,F_2$$F_1, F_2$ 构成的 $\mathrm{△}P{F}_1{F}_2$$\triangle PF_1F_2$ 称为焦点三角形。令 $|P{F}_1|=r_1,|P{F}_2|=r_2,\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2=\theta$$|PF_1| = r_1, |PF_2| = r_2, \angle F_1PF_2 = \theta$。

1. 周长：$L_{\mathrm{△}P{F}_1{F}_2}=r_1+r_2+2c=2a+2c=2(a+c)$$L_{\triangle PF_1F_2} = r_1 + r_2 + 2c = 2a + 2c = 2(a+c)$。

2. 余弦定理：$4c^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta$$4c^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos\theta$。

3. 顶角 $\theta$$\theta$ 的变化：当 $P$$P$ 为短轴端点时，顶角 $\theta$$\theta$ 最大。

4. 面积公式（以焦点在 $x$$x$ 轴为例）：

   • $S=\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin \theta =b^2\tan \frac{\theta }{2}$$S = \frac{1}{2}r_1r_2\sin\theta = b^2\tan\frac{\theta}{2}$
   • $S=c|y_0|$$S = c|y_0|$
   • 当 $|y_0|=b$$|y_0| = b$（即 $P$$P$ 为短轴端点）时，$S$$S$ 取最大值 $bc$$bc$。

四、 离心率 ($e$$e$)

1. 定义：椭圆的焦距与长轴长的比 $\frac{c}{a}$$\frac{c}{a}$ 叫做椭圆的离心率。

2. 公式：$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-(\frac{b}{a}{)}^2}$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - (\frac{b}{a})^2}$。

3. 取值范围：$0<e<1$$0 < e < 1$。

4. 对形状的影响：

   • $e$$e$ 越接近 $1⟹$$1 \implies$ $c$$c$ 越接近 $a⟹$$a \implies$ $b$$b$ 越小，椭圆越扁。
   • $e$$e$ 越接近 $0⟹$$0 \implies$ $c$$c$ 越接近 $0⟹$$0 \implies$ $b$$b$ 越接近 $a$$a$，椭圆越圆（当 $e=0$$e=0$ 时轨迹为圆）。